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Introdução à Análise Real - Osmundo Alves

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Analise real
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  1 Solu¸c˜oes dos Exerc´ıcios Cap´ıtulo 1 1.1- a)  Suponha que  x + y / ∈ Q − R . Ent˜ao  x + y  ∈ R  ou  y  =  r − x . Da´ı,  y  ∈ Q , pois r − x ∈ Q , o que contradiz a hip´otese de que  y  ∈ Q − R . b)  Suponha que  xy / ∈  R − Q . Ent˜ao  xy  =  r  ∈  Q  ou  y  =  rx . Da´ı,  y  ∈  Q , pois rx  ∈ Q  o que condradiz a hip´otese de que  y  ∈ Q − R . c)  Temos: y  =  y · 1 =  y · x ·  1 x  =  xy ·  1 x  = 0 ·  1 x  = 0 ⇒ y  = 0 d)  Temos:( √  x −√  y ) 2 ≥ 0 ,  ∀ x ≥ 0 e  ∀ y  ≥ 0Logo:( √  x −√  y ) 2 =  x − 2 √  x √  y  + y  =  x  + y − 2 √  x √  y  ≥ 0 ⇒ x  + y  ≥ 2 √  xy  ⇒√  xy  ≤  x  + y 2 e)  Temos: | a − b | = | a + ( − b ) |≤| a | + |− b | = | a | + |− 1 · b | = | a | + |− 1 || b | = | a | + | b |⇒| a − b |≤| a | + | b | ,  ∀ a,b ∈ R  f)  Temos: | a | = | a − b  + b |≤| a − b | + | b || a |−| b |≤| a − b |  (1)Por outro lado, | b | = |− 1 || b | = |− b | = |− a + a − b | = | a − b − a |≤| a − b | + | a |⇒−| a − b |≤| a |−| b |  (2)Por (1) e (2) segue que: −| a − b |≤| a |−| b |≤| a − b | ou equivalentemente: || a |−| b ||≤| a − b | ,  ∀ a,b ∈ R  2 g)  Temos: | a | = | a + b − b |≤| a + b | + | b |⇒| a |−| b |≤| a + b |⇒| a + b |≥| a |−| b | ,  ∀ a,b ∈ R h)  Basta mostrar que: | a | 1 + | b |  +  | b | 1 + | b | − | a + b | 1 + | a + b | ≥ 0 ,  ∀ a,b ∈ R De fato, | a | 1 + | b |  +  | b | 1 + | b | − | a + b | 1 + | a + b |  ==  | a | (1 + | b | )(1 + | a + b | ) + | b | (1 + | a | )(1 + | a + b | ) −| a + b | (1 + | a | )(1 + | b | )(1 + | a | )(1 + | b | )(1 + | a + b | )Note que, | a | (1 + | b | )(1 + | a + b | ) + | b | (1 + | a | )(1 + | a + b | ) −| a + b | (1 + | a | )(1 + | b | ) == | a | + | a || a + b | + | a || b | + | a || b || a + b | + | b | + | b || a + b | + | a || b | + | a || b || a + b |−−| a + b |−| b || a + b |−| a || a + b |−| a || b || a + b | = | a | + | b | + 2 | a || b | + | a || b || a + b |−| a + b | Da´ı, | a | 1 + | b |  +  | b | 1 + | b | − | a + b | 1 + | a + b |  =  | a | + | b | + 2 | a || b | + | a || b || a + b |−| a + b | (1 + | a | )(1 + | b | )(1 + | a + b | )  ≥≥ | a | + | b | + 2 | a || b | + | a || b || a + b |−| a |−| b | (1 + | a | )(1 + | b | )(1 + | a + b | ) == 2 | a || b | + | a || b || a + b | (1 + | a | )(1 + | b | )(1 + | a + b | )  ≥ 0 ⇒ | a | 1 + | b |  +  | b | 1 + | b | − | a + b | 1 + | a + b | ≥ 0  ∀ a,b ∈ R 1.2- a)  Se  a < b  ent˜ao, max { a,b } =  b . Logo: a < b ⇒ a − b <  0 ⇒| a − b | = − ( a − b ) =  b − a ⇒| a − b | =  b − a + b − b ⇒| a − b | + a + b  = 2 b ⇒ b  = 12 { a + b  + | a − b |} Se  a > b  ent˜ao, max { a,b } =  a . Logo: a > b ⇒ a − b >  0 ⇒| a − b | =  a − b ⇒| a − b | =  a − b  + a − a ⇒| a − b | + a + b  = 2 a ⇒ a  = 12 { a + b  + | a − b |}  3Se  a  =  b  ent˜ao, max { a,b } =  c , com  c  =  a  =  b . Logo: a  =  b ⇒ a − b  = 0 ⇒| a − b | =  a − b ⇒| a − b | =  a − b  + a − a ⇒| a − b | + a + b  = 2 a ⇒ a  = 12 { a + b  + | a − b |}⇒ c  = 12 { a + b  + | a − b |} Portanto max { a,b } = 12 { a + b  + | a − b |} . b)  An´aloga. 1.3-  i) Se  n  = 2, pela desigualdade triangular, temos: | a 1  + a 2 |≤| a 1 | + | a 2 | ,  ∀ a 1 ,a 2  ∈ R ii) Agora, suponha que | a 1  + a 2  + ...  + a n |≤| a 1 | + | a 2 | + ...  + | a n |  (3)´e verdadeira para  n , e mostremos que a mesma ´e satisfeita para  n  + 1. De fato, | a 1 + a 2 + ... + a n + a n +1 | = | ( a 1 + a 2 + ... + a n )+ a n +1 |≤| a 1 + a 2 + ... + a n | + | a n +1 | Pela hip´otese de indu¸c˜ao temos: | a 1  + a 2  + ...  + a n  + a n +1 |≤| a 1 | + | a 2 | + ...  + | a n | + | a n +1 | Portanto, (3) ´e v´alida para todo  n ∈ N . 1.4-  i) Se  n  = 1 temos:(1 + x ) 1 = 1 + x ≥ 1 + 1 x ii) Agora admitamos que(1 + x ) n ≥ 1 + nx  (4)´e verdadeira para  n . Multiplicando ambos os lados de (4) por 1 + x , teremos:(1 + x ) n +1 ≥  (1 + x )(1 + nx ) = 1 + nx  + x  + nx 2 == 1 + ( n  + 1) x  + nx 2 ≥ 1 + ( n  + 1) x,  pois  nx 2 ≥ 0Portanto, pelo Princ´ıpio de Indu¸c˜ao (1 + x ) n ≥ 1 + nx ,  ∀ n ∈ N ,  ∀ x ≥− 1. 1.5-  i) Para  n  = 1 temos:(1 + x ) 1 = 1 + x ≥ 1 + 1 · x  + 0 · x 2 = 1 + 1 · x  + 1(1 − 1)2  x 2  4ii) Agora, suponha que(1 + x ) n ≥ 1 + nx  +  n ( n − 1)2  x 2 (5)´e verdadeira para n e mostremos que a mesma vale para  n  + 1. De fato,(1 + x ) n +1 = (1 + x ) n (1 + x )Pela hip´otese de indu¸c˜ao temos: (1 + x ) n +1 ≥  1 + nx +  n ( n − 1)2  x 2  (1 + x ) == 1 + x  + nx  + nx 2 +  n ( n − 1)2  x 2 +  n ( n − 1)2  x 3 == 1 + ( n  + 1) x  +  n  +  n ( n − 1)2  x 2 +  n ( n − 1)2  x 3 == 1 + ( n  + 1) x  +  n  + n 2 2  x 2 +  n ( n − 1)2  x 3 == 1 + ( n  + 1) x  + ( n  + 1) n 2  x 2 +  n ( n − 1)2  x 3 == 1 + ( n  + 1) x  + ( n  + 1)( n  + 1 − 1)2  x 2 +  n ( n − 1)2  x 3 ≥≥  1 + ( n  + 1) x  + ( n  + 1)( n  + 1 − 1)2  x 2 Portanto, (5) ´e v´alida para todo  n ∈ N . 1.6-  De fato, pela propriedade arquimediana de  R  temos que: dado  ε >  0 em  R ,existe  N   ∈ N  tal que Nε >  1 ⇒ ε >  1 N   ⇒  1 N  < ε 1.7-  Suponha que n˜ao existisse  x  ∈  S   tal que  y > x  ≥  m 0  para cada  y > m 0 .Ent˜ao ter´ıamos  y  ≤  x  ∀ x  ∈  S  , isto ´e,  y  seria uma cota inferior para  S  . Mas y > m 0 , o que contradiz o fato de  m 0  ser o ´ınfimo de  S  . Portanto, para cada y > m 0 , existe  x ∈ S   tal que  y > x  ≥ m 0 . 1.8-  a)  (Existˆencia) Temos: b  =  b · 1 =  b ·  aa  =  a ·  ba  ⇒ a ·  ba  =  b Logo,  x  =  ba  satisfaz  ax  =  b , e est´a provada a existˆencia.
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