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Cap. 01 - A.L - Vetores

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  A.L  –  Vetores (Cap. 1)    Definição inicial de vetor:    É uma seta que possui direção, sentido e módulo;    Módulo de ⃗ :    || =   12 + 22 + 32      Sendo x 1 , x 2 e x 3 = as coordenadas do vetor.    O módulo de um vetor também é chamado de norma;    Operações:    Soma:    ⃗ ,,  e  ,,      ⃗  +   = (a, b, c) + (d, e, f) = (a + d, b + e, c + f)    Terá as mesmas propriedades da soma, ou seja, a + b = b + a.    Subtração:    ⃗ ,,  e  ,,      Soma o oposto: ⃗  + (-  )    Na prática, inverte se o sentido do vetor resultante.    Multiplicação por escalar ( α ):    ⃗ ,,      α  * ⃗  = ∗,∗,∗      Todo vetor multiplicador por escalar é múltiplo do vetor gerador.    Também é paralelo.     Ao multiplicar por negativo, inverte-se o sentido do vetor;    Combinação Linear (CL):    ⃗= + ⃗       A partir de dois vetores coplanares e não colineares é possível escrever qualquer vetor em função de outros dois;    Qualquer vetor pode ser escrito a partir da combinação das operações de soma vetores e produto por escalar;     À aplicação dessas duas operações dá se o nome de combinação linear;    Vetores coplanares:    Quando os vetores estão no mesmo plano;    Um dos requisitos necessários para se aplica CL;    Vetores colineares:    Ou estão na mesma reta, ou em retas paralelas;    Disse que nesses casos eles são múltiplos,    É necessário que vetores sejam não colineares para que seja possível CL;    Vetores Linearmente Dependentes (LD);    Quando os vetores são múltiplos entre si, ou seja, quando um deles é combinação linear de outros;    Vetores LD são paralelos e proporcionais entre si;     Verifica-se isso a partir de alguns métodos:    Fazendo uma combinação linear entre todos os vetores resultar em um vetor nulo, caso os coeficientes tenham valores ≠ 0 → são LD;      Ex: 0,0,0= + ⃗+⃗ , caso α , β  e γ   ≠ 0 →  conjunto LD    Caso haja vetor nulo no conjunto é conjunto LD;    Realiza escalonamento do sistema, caso alguma linha zere, é conjunto LD, e os valores da linha zerada antes das operações elementares, correspondem a coordenado o vetor que é CL das outras.    Vetores Linearmente Independentes (LI):    Não são múltiplos entre si, portanto não há vetores que são CL de outros;    Fazendo uma combinação linear entre todos os vetores resultar em um vetor nulo, caso os coeficientes tenham valores = 0 → são L I.    Base corresponde a um conjunto de vetores LI;    Quando os vetores são LI pode -se dizer que eles são uma base para o determinado espaço com o que se está trabalhando, exemplo:    Se o espaço tiver 2 coordenadas → base de R 2 ;      Se o espaço tiver 3 coordenadas → base de R 3 ;    Se o espaço tiver n coordenadas → base de R n ;    Produto de vetores:    Pode ser produto escalar ou vetorial;    Escalar (ou produto interno) ( <⃗ ,> ⃗ã  :    Multiplica coordenadas e soma (caso tenha as coordenadas)    Multiplica os módulos e o cosseno do ângulo entre eles (caso tenha apenas os módulos)    Produto escalar porque gera um escalar;    É comutativo;    É distributivo;    ⃗∗⃗=⃗ 2 =(√ ⃗ 2 ) 2 =|⃗| 2      O produto escalar de ortogonais é 0;    Projeção ortogonal de   ⃗  (projeção de ⃗  na direção de ⃗ );   = ∗∗ ⃗  = ∗||   ⃗  Esse vetor é a melhor aproximação de   no plano de ⃗ ;    Vetor unitário (  : ocorre quando |  | = 1;    Vetorial ( ⃗   :    Gera um vetor;    Não é comutativo ( ⃗    ≠   ⃗ ;    É distributivo;    Obtém a partir de determinantes das coordenadas;    O produto é nulo nos casos de: Um dos formadores for nulo; Se forem colineares;     O vetor produto gerado é simultaneamente perpendicular aos formadores;    O módulo é, por definição, igual à: |⃗  | = |⃗|.||. θ      O módulo do produto vetorial determina a área de um paralelogramo;    Produto misto ( ⃗  x ã  ou ( ,⃗, :    Seu módulo corresponde ao volume de determinado corpo;    ã = produto escalar;      x = produto vetorial;    Esse produto se dá a partir do cálculo do determinante dos 3 vetores;    Propriedades:    Esse produto é nulo, nos casos:    Se um dos vetores for nulo;    Se dois deles forem colineares (um múltiplo do outro);    Se três deles forem coplanares (são LD);    O produto independe da ondem circular (quando se desloca os três vetores em uma mesma direção);    O produto muda de sinal quando troca -se a posição entre dois vetores consecutivos;      ⃗ã+⃗=  ⃗ã++⃗ã⃗ ;      ⃗ã∗=  ⃗ã=  ⃗ã= [  ⃗ã] ;    O módulo do produto misto resulta no volume do paralelepípedo;    Por meio do produto misto é possível analisar se três vetores são coplanares, pois caso volume igual a 0, significa que são coplanares (de acordo com a primeira propriedade), e portanto, não é possível formar um paralelepípedo;    Vetores no   :    Vetores de duas coordenadas ( ⃗=, ) estão no R 2 ;    Vetores de três coordenadas ( ⃗=,, ) estão no R 3 ;    Vetores de duas coordenadas ( ⃗=,…, ) estão no R n ;     Ao ter mais de 3 coordenadas perde-se a noção espacial;    Nova definição de vetor: conjunto ordenado de números;     A esses números dá se o nome de coordenadas;    Um vetor pode ser escrito como a CL de outros vetores, a partir das operações de soma vetorial e produto por escalar;     A partir de agora não necessário indicar a seta;     Se o vetor(v)  € R n e for uma combinação linear dos vetores (v 1 , v 2 ...v n ) ele pode ser escrito como: V = α v 1 + β v 2  + ... + γ v n , sendo α ,   β  e γ  os coeficientes.    Conjunto LD e LI:    O conjunto ({v 1 , v 2 ...v n }) é LI caso pertença a R n  e a equação: αv 1 + βv 2   + ... + γv n = (0, 0, ... 0) tenha seus coeficientes (α, β ... e γ) iguais a 0.      OBS: (0,0, ... 0) é um vetor e € R n ; já 0 é um escalar e € R.      Span (H):    Corresponde ao espaço gerado pelas combinações dos vetores;    É um subespaço vetorial;    Definição: É igual ao conjunto de todas as CL’s possíveis de serem feitas entre os vetores u e v, variando os coeficientes α , β, ... e γ.      A soma dos vetores contidos em H também está contida em H;      O vetor nulo € H;      Um vetor € H multiplicado por escalar também € H.       A soma vetorial de u e v também € H;  
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